Для начала найдем стороны треугольника.

Так как sin(A) = 12/13, то с использованием основного тригонометрического тождества sin(A) = a/2R, где a - сторона треугольника, а R - радиус описанной окружности, получаем:
a = 2Rsin(A) = 2R(12/13) = 24R/13

Аналогично для угла C получаем:
c = 2Rsin(C) = 2R(4/5) = 8R/5

Также, так как высота BH проведена из вершины B к основанию AC и является перпендикуляром к этой основе, то треугольник ABH является подобным треугольнику ABC. Следовательно:
BH/BC = AH/AB
12/(8R/5) = (a - 12)/a
12(5/8R) = (24R/13 - 12) / (24R/13)
60R/8R = (24R - 1213) / 24R
7,5 = 312R/24R - 156/24
7,5 = 13R/24 - 6,5
13R/24 = 14
R = 24 * 14 / 13 = 24

Итак, радиус вписанной в остроугольный треугольник АВС окружности равен 24.