Для решения этой задачи мы можем использовать формулу площади четырехугольника, основанную на диагоналях и угле между ними:

S = 1/2 d1 d2 * sin(угол между диагоналями)

Где d1 и d2 - диагонали четырехугольника, а угол между ними - угол образованный этими диагоналями.

В нашем случае у нас есть четырехугольник ABCD, где AB = 5 см, BC = 13 см, CD = 9 см, DA = 15 см и AC = 12 см.

Мы видим, что AC - это диагональ четырехугольника, поэтому мы можем назвать ее d1.

Мы знаем, что угол DCA = 90 градусов, так как это прямоугольный треугольник DCA.

Теперь мы можем найти вторую диагональ через теорему Пифагора: AD^2 = AC^2 + CD^2.

AD^2 = 12^2 + 15^2

AD = √(144 + 225) = √(369) = 19 см

Теперь у нас есть все данные, чтобы посчитать площадь четырехугольника:

S = 1/2 12 19 * sin(90 градусов)

S = 1/2 12 19 = 114 см^2

Ответ: Площадь четырехугольника ABCD равна 114 квадратных сантиметров.