Обозначим меньшее основание трапеции как ( a = 4 ) и боковую сторону как ( b = 4\sqrt{2} ). Пусть угол, который диагональ трапеции составляет с меньшим основанием, равен ( \alpha ).

Так как трапеция равнобедренная, то диагональ также является высотой и разделит трапецию на два равнобедренных треугольника.

Известно, что угол между диагональю и боковой стороной равен 30 градусов.
Значит, в одном из получившихся треугольников, угол между диагональю и меньшим основанием равен 30 градусов.

Теперь применим тригонометрию в получившемся треугольнике:

[ \tan 30^\circ = \frac{a/2}{b/2} ]

[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{4\sqrt{2}} ]

[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}} ]

[ \sqrt{3} = \sqrt{2} ]

Наше предположение о том, что угол с меньшим основанием равен 30 градусов, неверно.
Следовательно, угол ( \alpha ) равен 30 градусов.

Итак, угол ( \alpha ) равен 30 градусов.