Пусть точки касания окружности с трапецией обозначены как A, B, C, D, причем AC || BD и AC = BD. Пусть O - центр окружности, а M и N - середины отрезков AD и BC соответственно.

Так как трапеция равнобедренная, то AM = MD = x и BN = NC = y. Также AC = BD = 2x.

Из условия задачи понятно, что MN является средней линией трапеции ABCD. Поэтому MN = (AD + BC) / 2 = (2x + 2y) / 2 = x + y.

Также известно, что площадь четырехугольника AMNC равна 12. Так как AM = x и NC = y, то площадь четырехугольника AMNC равна S = x*y.

Теперь проверим, что MN = x + y = 6. Если MN = 6, то x + y = 6, и мы можем найти площадь трапеции ABCD.

S = xy = x(6 - x) = 6x - x^2

dS/dx = 6 - 2x

Приравниваем dS/dx = 0 и решаем уравнение 6 - 2x = 0:

6 - 2x = 0
2x = 6
x = 3

Так как x = 3, то y = 3 и MN = 3 + 3 = 6.

Теперь можем найти площадь трапеции ABCD:

S = 6*3 - 3^2 = 18 - 9 = 9

Ответ: площадь трапеции ABCD равна 9.