Пусть ABC - равносторонний треугольник, описанный окружностью O1, а вписанная окружность касается сторон треугольника в точках D, E, F (соответственно сторонам BC, AC, AB) и имеет центр O2.

Так как треугольник ABC равносторонний, то BD, DC, AE, EC, AF, FB - это медианы этого треугольника, проходящие через ортоцентр и центр описанной окружности (O1) этого треугольника.

Поскольку вписанная окружность касается сторон треугольника в точках D, E, F, то эти точки делят медианы пополам.

Так как D, E, F - это точки касания вписанной окружности с треугольником, то также D, E, F - точки в которых высоты проведенные из вершин треугольника пересекают стороны (поскольку это является свойством вписанной окружности).

Следовательно, центр вписанной окружности O2 тоже является центром описанной окружности около треугольник ABC (O1).

Таким образом, центры обеих окружностей совпадают.