Площадь диагонального сечения пирамиды можно найти как сумму площадей основания и боковой поверхности.

Для начала найдем высоту пирамиды. Так как боковое ребро наклонено к плоскости под углом 45 градусов, его проекция на плоскость основания будет равна ( 2\sqrt{2} \cdot \cos{45} = 2 ).

Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти половину диагонали основания:
[ \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3} ]

Теперь можем найти площадь основания:
[ S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2 ]

Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Она равна полупроизведению окружности вписанного в основание радиуса и окружности описанного вокруг сечения пирамиды:
[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi \cdot \sqrt{2} = \pi \sqrt{2} ]

Итак, площадь диагонального сечения пирамиды равна сумме площадей основания и боковой поверхности:
[ S = S{\text{осн}} + S{\text{бок}} = 2 + \pi \sqrt{2} \approx 5.57 ]