Первым шагом найдем радиус вписанного круга.

Пусть $OS=r$ - радиус круга, а $OT=h$ - высота трапеции.

Так как $O$ - центр вписанного круга, через него можно провести две касательные к сторонам трапеции, которые являются радиусами круга.

В результате образуется два равнобедренных треугольника $OST$ и $OTS$.

Так как $ROT=60^{\circ }$, то $OST$ и $OTS$ - равнобедренные треугольники.

Из условий задачи имеем $OT=18$, значит $OS=OT=18$.

Обозначим через $X$ точку пересечения высоты трапеции с её основанием.

Так как $AXO$ - равнобедренный треугольник, то $AX=18$.

В прямоугольном треугольнике $SOA$ имеем $\sin 30^{\circ }=\frac{r}{18}$, откуда $r=9$.

Теперь вычислим площадь круга: $S=\pi r^2=\pi 9^2=81\pi$.

Ответ: $81\pi$.