Дано, что прямоугольный треугольник равнобедренный, значит, катеты равны между собой. Обозначим длину катета как 'а', гипотенузу как 'c', радиус вписанной окружности как 'r', а высоту как 'h'. Также, известно, что радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника равен половине разности катета и гипотенузы: r = (c - a)/2.

По теореме Пифагора, c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2, следовательно, a = c/sqrt(2).

Таким образом, r = c - c/sqrt(2)/2 = c(2-sqrt(2))/2.

Высота треугольника, проведенная к гипотенузе, равна произведению катета на радиус вписанной окружности, поделенное на сумму катета и гипотенузы: h = a*r/(a+c) = c(2-sqrt(2))/4.

Таким образом, длина высоты треугольника, проведенной к гипотенузе, равна c(2-sqrt(2))/4.