Пусть гипотенуза треугольника равна 2а, а катеты - b. Так как окружность делит гипотенузу и катет пополам, то расстояние от центра окружности до катета равно b/2, а до гипотенузы - a. Таким образом, у нас образовался прямоугольный треугольник со сторонами a и b/2. Так как касательная к окружности из точки касания проведена к катету, то она будет являться катетом прямоугольного треугольника.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами a и b/2, и в нем нужно найти соотношение касательной к другому катету (b). По теореме Пифагора имеем:
a^2 + (b/2)^2 = b^2

Упрощаем:
a^2 + b^2/4 = b^2
4a^2 + b^2 = 4b^2
4a^2 = 3b^2
a^2 = 3/4 b^2
a = b sqrt(3/4)
a = b * sqrt(3)/2

Итак, длина катета a равна b sqrt(3)/2, таким образом, соотношение касательной к другому катету b будет равно b sqrt(3)/2 : b, или просто sqrt(3)/2.