Для нахождения косинуса угла C в треугольнике ABC, где A(3;1), B(-2;5), C(-5;1), можно воспользоваться формулой косинуса угла треугольника:

cos(C) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 |AB| |AC|),

где |AB| - длина отрезка AB, |AC| - длина отрезка AC.

Вычислим длины сторон треугольника ABC:

|AB| = √((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2) = √((-2 - 3)^2 + (5 - 1)^2) = √((-5)^2 + (4)^2) = √(25 + 16) = √41,

|AC| = √((x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2) = √((-5 - 3)^2 + (1 - 1)^2) = √((-8)^2 + (0)^2) = √(64 + 0) = √64 = 8,

|BC| = √((x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2) = √((-5 + 2)^2 + (1 - 5)^2) = √((-3)^2 + (-4)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Подставляем найденные значения в формулу:

cos(C) = (41 + 64 - 25) / (2 41 8) = 80 / (2 * 328) = 40 / 328 = 5 / 41.

Ответ: cos(C) = 5/41.