Для начала заметим, что радиус вписанной окружности равен расстоянию от центра окружности до сторон треугольника.

Рассмотрим высоту, проведенную из вершины прямого угла треугольника на гипотенузу c. Она делит треугольник на два подобных треугольника и каждый из этих треугольников подобен исходному прямоугольному треугольнику.

Получаем, что отрезок гипотенузы c, на котором лежит радиус окружности, делится медианой треугольника на две части, пропорциональные катетам. Следовательно, r = (a * c) / (a + b).

Теперь заметим, что гипотенуза c равна сумме катетов a и b: c = a + b.

Подставляем это в формулу для радиуса и получаем r = (a * (a + b)) / (a + b), что равно a.

Итак, радиус вписанной окружности равен a, что и требовалось доказать.