Для начала обозначим высоту треугольника AH и BK как h. Так как треугольник ABC равнобедренный, то AO - медиана и биссектриса в треугольнике ABC.

Так как AO - медиана, то BO = OC, следовательно, BK = KC = 8.

Так как треугольник ABK - прямоугольный, то применим теорему Пифагора:
AB^2 = AK^2 + BK^2
AB^2 = 12^2 + 8^2
AB^2 = 144 + 64
AB^2 = 208
AB = √208
AB = 4√13

Теперь применим теорему Пифагора в треугольнике AOB:
AO^2 = AB^2 - BO^2
AO^2 = $4\surd 13$^2 - 8^2
AO^2 = 16*13 - 64
AO^2 = 208 - 64
AO^2 = 144
AO = √144
AO = 12

Итак, AO = 12.