Для доказательства подобия треугольников $A1C1B1$ и $ABC$ можно воспользоваться двумя способами:

По теореме об угле между высотой и стороной прямоугольного треугольника: угол $A1B1C1$ равен углу $A$ (как углу прямоугольного треугольника $ABC$), угол $A1C1B1$ равен углу $B$ (как углу прямоугольного треугольника $ABC$), следовательно, треугольники $A1C1B1$ и $ABC$ подобны.

Рассмотрим отношение сторон треугольников $A1C1B1$ и $ABC$.

Мы имеем:
$$\angle A1=\angle C(1)$$ $$\angle A1=\angle B1(2)$$ $$\angle B1=\angle B(3)$$

Из прямоугольности треугольника $ABC$ следует, что:
$$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ }$$ $$\angle A+\angle B+90^{\circ }=180^{\circ }$$ $$\angle A+\angle B=90^{\circ }-\angle C$$ $$\angle A+\angle B=90^{\circ }-\angle B1(4)$$

Из уравнения $(2)$ и $(4)$ следует:
$$\angle B1=90^{\circ }-\angle B1$$ $$2\angle B1=90^{\circ }$$ $$\angle B1=45^{\circ }$$

Из $(3)$ и того что $\angle B1=45^{\circ }$ следует:
$$\angle B=45^{\circ }$$

Следовательно, треугольник $ABC$ — прямоугольный с углами $45^{\circ }$, и, таким образом, треугольники $A1C1B1$ и $ABC$ подобны.

Таким образом, треугольники $A1C1B1$ и $ABC$ подобны.