Расстояние от середины гипотенузы до каждой вершины треугольника ABC равно половине высоты равнобедренного треугольника. Так как треугольник ABC равнобедренный, то высота, опущенная из вершины C, также является медианой и биссектрисой. Следовательно, середина гипотенузы является центром вписанной окружности. Таким образом, точка O - середина гипотенузы - обладает свойством принадлежности вписанной окружности треугольнику ABC.

Расстояние от центра окружности O до прямой AC равно половине длины высоты треугольника AOB, проведенной из вершины A. Так как угол BAC = 30 градусов, то угол в центре AOB = 60 градусов. Теперь можно посчитать расстояние от центра O до прямой AC с помощью тригонометрических функций.

Пусть точка M - середина хорды BC. Так как расстояние от центра O до хорды BC равно 3 см, то OM будет равно 3 см. Угол OBC = 45 градусов, следовательно, угол OMC = 90 градусов. Так как треугольник OMC является прямоугольным, то по теореме Пифагора можно найти длину хорды BC, которая равна 6 см.