Для начала найдем длину отрезка ОК. Поскольку МК - диаметр окружности, то МОК - прямой угол, а значит треугольник МОК - прямоугольный. Таким образом, можно воспользоваться теоремой Пифагора:
$$(ОК)^2 = (МК)^2 - (МО)^2$$
$$(ОК)^2 = 12^2 - 10^2$$
$$(ОК)^2 = 144 - 100$$
$$(ОК)^2 = 44$$
$$ОК = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}$$

Теперь найдем длину отрезков ФК и ФО. Поскольку треугольник МКЕ - равнобедренный, то МК=МЕ, а следовательно, треугольники МОФ и МОК - равнобедренные относительно отрезка ОК. Значит, OF = OK = 2√11.

Таким образом, периметр треугольника FОК равен:
$$FОК = FО + ОК + КF = 2\sqrt{11} + 2\sqrt{11} + 10 = 4\sqrt{11} + 10$$

Ответ: периметр треугольника FОК равен 4√11 + 10.