а) Площадь трапеции можно найти по формуле: S = (a + b) h / 2, где a и b - основания трапеции, h - высота.
Первое основание (большее) равно сумме длин боковых сторон, то есть a = 12√3.
Второе основание (меньшее) равно 8 см, то есть b = 8.
Так как угол А прямой, то высота h равна длине вертикального отрезка, опущенного из вершины A на сторону BC. Определим площадь треугольника ABC по формуле: S = 1/2 b h_tr, где b - длина основания, h_tr - высота треугольника.
h_tr = b tg(α), где α= 30°, поэтому h_tr = 8 tg 30° = 8 1/√3 = 8/√3.
Теперь находим площадь треугольника ABC: S_tr = 1/2 8 (8/√3) = 32/√3.
Теперь можем найти высоту трапеции h = 32/√3, и площадь трапеции:
S = (12√3 + 8) (32/√3) / 2 = (4√3(3 + 2) 32) / √3 = 256 см².

б) Расстояние от вершины B до диагонали AD можно найти, рассматривая треугольник BCD. Рассмотрим BCD: угол BDC равен 30 градусов, поэтому угол CBD = 60 градусов. Так как угол BCD прямой, то угол BDC равен 90 - 60 = 30 градусов.
Теперь можно выразить отрезок BD через сторону треугольника BCD и угол ABC: BD = BC ctg(ABC) = 8 ctg 30 = 8 * √3.
Теперь рассмотрим треугольник ABD: BD = 8√3, AD = 12√3, значит AB = AD - BD = 4√3.
Теперь находим искомое расстояние от вершины B до диагонали по теореме Пифагора:
ABD^2 = AB^2 + BD^2 =>
h^2 = (4√3)^2 + (8√3)^2 = 48 + 192 = 240 =>
h = √240 = 4√15.
Ответ: расстояние от вершины B до диагонали равно 4√15 см.