Обозначим точку соприкосновения отрезка МО с окружностью как А. Также обозначим точки пересечения отрезков КМ и КН с окружностью как В и С соответственно.

Так как отрезки КМ и КН - касательные к окружности, то они перпендикулярны радиусам, проведенным из точек касания с окружностью. Значит, треугольники ОАК, ОВК и ОСК - прямоугольные с вершиной в точке О.

Треугольник ОАК равнобедренный, так как радиус ОК проведен к середине хорды АК. Пусть X - середина хорды АК. Тогда AX = XK = 6 см.

Так как треугольник ОАК равнобедренный, то угол ОАК = 60 градусов.

Теперь мы можем найти длины сторон треугольников ОВК и ОСК по теореме синусов.

В треугольнике ОВК угол О равен 60 градусов, а угол, противолежащий стороне ОВ равен углу МОН, то есть 120 градусов. Таким образом, синус угла ОВК равен:

sin 60° / 12см = sin 120° / OV,
OV = 12см sin 120° / sin 60° = 12см √3 / √3 / 0.87 ≈ 20.8 см.

Аналогично, сторона OK для треугольника ОСК будет равна 12см, а сторона КС можно найти по формуле:

sin 60° / KN = sin 120° / 12см,
KN = 12см sin 60° / sin 120° = 12см √3 / √3 * 2 ≈ 6см.

Теперь мы можем найти КМ:

КМ = 2 VK = 2 20.8см ≈ 41.6см.

То есть, КМ ≈ 41.6 см, KN ≈ 6 см.