Для начала найдем длину диагонали основания прямоугольника. По теореме Пифагора:

$$d = \sqrt{8^2 + (4\sqrt{5})^2} = \sqrt{64 + 80} = \sqrt{144} = 12\ дм.$$

Теперь можем найти площадь основания пирамиды:

$$S_{\text{осн}} = 8\ дм \cdot 4\sqrt{5}\ дм = 32\sqrt{5}\ дм^2.$$

Зная площадь основания, можно найти высоту пирамиды:

$$h = \frac{V}{S{\text{осн}}} = \frac{\frac{1}{3} \cdot S{\text{осн}} \cdot h}{S_{\text{осн}}} = \frac{1}{3} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 10\ дм = 3.\overline{3}\ дм.$$

Таким образом, длина высоты данной пирамиды равна 3.\overline{3} дм.