Пусть дана точка A вне прямой m. Проведем из этой точки два отрезка: AD – высоту, перпендикуляр к прямой m, и AM – наклонную к прямой m.

Докажем, что AD < AM.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и ADB:

Треугольник ABC – прямоугольный, гипотенуза – AM, катеты – AD и DM (т.к. треугольник AMD – прямоугольный по построению).

Катет AD меньше AM (по условию), катет DM больше DC (т.к. AM меньше AC).

Из пунктов 1 и 2 следует, что гипотенуза AM больше гипотенузы AD.

Таким образом, перпендикуляр проведенный из точки к прямой меньше любой наклонной проведенной из этой же точки к этой прямой.