Пусть точка, лежащая на окружности и соединенная с одним концом диаметра, обозначается как точка М. Так как ОМ - радиус окружности, то ОМ = 5 см. Также дано, что МК = 8 см. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ОМК, где ОК - радиус окружности, получаем:

ОК^2 + МК^2 = ОМ^2
ОК^2 + 8^2 = 5^2
ОК^2 + 64 = 25
ОК^2 = 25 - 64
ОК^2 = -39

Так как радиус окружности не может быть отрицательным, то мы ошиблись в предположении о том, что МК - длина дуги. Поэтому пусть МК = х см. Теперь уравнение примет вид:
ОК^2 + х^2 = 5^2
ОК^2 + х^2 = 25

Дано, что ОК = 5 см и ОК = х, следовательно, х = 5 см. Таким образом, расстояние от другого конца диаметра до точки окружности также равно 5 см.

Поскольку АВ и АС - касательные, то угол ОВС = угол ОСВ = 90 градусов. Так как угол ВОС = 60 градусов, то угол ОВА = 180 - 60 = 120 градусов. Так как ОА = 10 см и ОВ = ОС (радиус окружности), то треугольник ОАВ - равнобедренный и ОВ = ОА = 10 см. Используя теорему косинусов для треугольника ОВС, где ВО = 10 см, OC = 10 см и угол ВОС = 60 градусов:

ВС^2 = ВО^2 + ОС^2 - 2 ВО ОС cos(60)
ВС^2 = 10^2 + 10^2 - 2 10 10 cos(60)
ВС^2 = 100 + 100 - 200 * 0.5
ВС^2 = 100

ВС = 10 см

Периметр треугольника АВС: 10 + 10 + 10 = 30 см.

Так как ОВ - радиус окружности и угол АОВ = 45 градусов, то треугольник ОАВ - прямоугольный. Так как рекомендовано использовать угол, касающийся переменной, подчистим его и отметим его размер:

sin 45 = ОВ / ОА
√2 / 2 = 12 / ОА
ОА = 12 * 2 / √2
ОА = 24 / √2
ОА = 12√2

ОА = 12√2 см.