Для начала найдем радиус вписанной окружности.

Известно, что радиус окружности равен расстоянию от центра окружности до любой из ее сторон. Так как точка касания окружности с основанием образует перпендикуляр к стороне, получаем, что радиус окружности является высотой трапеции.

Из свойств прямоугольного треугольника получаем, что $r = \sqrt{AB \cdot CD}$, где $AB$ и $CD$ - длины оснований трапеции.

$r = \sqrt{12 \cdot 8} = 4\sqrt{6}$

Теперь найдем боковые стороны трапеции с помощью теоремы Пифагора.

Боковая сторона трапеции AB равна $\sqrt{r^2 + (AD - BC)^2} = \sqrt{(4\sqrt{6})^2 + (12 - 8)^2} = \sqrt{96 + 16} = \sqrt{112} = 4\sqrt{7}$

Боковая сторона трапеции CD равна $\sqrt{r^2 + (BC - AD)^2} = \sqrt{(4\sqrt{6})^2 + (8 - 12)^2} = \sqrt{96 + 16} = \sqrt{112} = 4\sqrt{7}$

Теперь можем найти периметр трапеции:

$P = AD + BC + 2 \cdot AB = 12 + 8 + 2 \cdot 4\sqrt{7} = 20 + 8\sqrt{7}$

Итак, периметр трапеции ABCD равен $20 + 8\sqrt{7}$.