Для начала заметим, что из условия равнобедренности треугольника ABC и ADC следует, что AB = AC и AD = AC.

Так как прямая BD - серединный перпендикуляр отрезка AC, то BD равен половине отрезка AC.

Теперь рассмотрим треугольники ABD и ACD. У них совпадают сторона AD, сторона AB и угол BAD равен углу CAD, так как это углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Значит, эти два треугольника равны по стороне-углу-стороне.

Следовательно, у них равны противоположные стороны: BD = CD.

Так как BD = CD и BD = AC/2, то CD = AC/2.

Таким образом, прямая BD действительно является серединным перпендикуляром к отрезку AC.