Для начала построим треугольник ABC и биссектрису AM.

Пусть BM = 3x и MC = x (так как BM : MC = 3 : 1).

Так как AM - биссектриса, то отношение длин отрезков AB и BC равно отношению длин отрезков AM и MC:

AB/BC = AM/MC
8/x = AM/x
AM = 8

Теперь найдем длину отрезка MK.

Из теоремы Талеса для треугольника ABM:
AM/MK = BM/KM
8/MK = 3x/(8-3x)
8MK = 24x - 9x^2
9MK + 9x^2 - 24x = 0
9(MK - 3x)(MK + x) = 0

MK = 3x или MK = -x

Так как отрезки не могут иметь отрицательную длину, то MK = 3x.

Теперь докажем, что MK параллельно AB.

Из построения треугольника ABM и AMK можно увидеть, что углы ABM и AMK равны, так как они соответственно смежные и вертикальные. Поэтому MK параллельно AB.

Таким образом, мы доказали, что MK параллельно AB и равно 3x.