В равностороннем треугольнике вписанная окружность касается всех трех сторон треугольника в их серединах. По условию, радиус вписанной окружности равен 4 см. Также известно, что высота равностороннего треугольника делит его на два равнобедренных треугольника. Поэтому, можно построить высоту, которая разделит основание на две равные части и даст прямой угол с вершиной треугольника.

Получаем, что сторона равностороннего треугольника равна 2*(4 + 4) = 16 см.

Построим четырёхугольник ABCD и окружность, описанную вокруг него. Пусть точки касания окружности с сторонами CD и AB обозначим как E и F соответственно. Так как наш четырехугольник ABCD описан около окружности, то углы этого четырехугольника находятся на одной окружности: ∠C + ∠D = ∠B + ∠A = 180°.

Известно, что BC = 6 см, AD = 9 см. Поэтому, мы можем найти радиус окружности, равный половине диагонали четырехугольника: R = (BC + AD) / 2 = (6 + 9) / 2 = 7.5 см.

Также, из условия AB = 2 * CD следует, что AB = 2x, CD = x.

Из свойства касательных и хорд окружности следует, что произведение отрезков хорды равно произведению отрезков этой хорды. Поэтому, ABBF = CDDE.

Теперь, рассмотрим правый треугольник в ABCD с высотой BF. Учитывая, что острый угол треугольника недостаточно информации, поэтому вернемся к свойству касательных и хорд, и добавим его к уравнению:

ABBF = CDDE
2x BF = x DE
2BF = DE

Теперь мы можем рассмотреть треугольник по высоте BF и стороне BC. Мы видим, что прямые треугольники равны похожи друг на друга. Мы знаем, что AD = 9, и путем порядка подобия, мы получаем, что DE = 9. Подставим это в уравнение выше:

2BF = 9
BF = 4.5

Теперь, рассмотрим равнобедренный треугольник со стороны CD и BF. Мы видим, что прямые треугольники равны похожи друг на друга. Мы знаем, что BC = 6, и путем порядка подобия, получим, что CD = 6. Подставим это в уравнение выше:

AB 4.5 = 6 6
2x 4.5 = 6 6
9x = 36
x = 36 / 9
x = 4

Таким образом, CD = 4 см, а AB = 2 * CD = 8 см.