Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле S = 2πrh, где r - радиус основания, h - высота цилиндра.

У нас дано, что высота цилиндра равна радиусу основания, то есть h = r.

Также известно, что площадь боковой поверхности конуса равна 41√2.

Так как у цилиндра и конуса общее основание и высоту, то площадь боковой поверхности конуса можно выразить через радиус и образующую конуса l следующим образом:

Sк = πrl.

Из условия задачи мы знаем, что Sк = 41√2, h = r и l - образующая конуса.

Таким образом, Sк = πr * r = πr².

Учитывая, что Sк = 41√2 и h = r, получаем:

πr² = 41√2.

Отсюда найдем радиус основания цилиндра r:

r = √(41√2) / π.

Теперь, используя формулу S = 2πrh и найденное значение радиуса, найдем площадь боковой поверхности цилиндра:

S = 2π √(41√2) / π √(41√2) / π.

Упрощаем выражение:

S = 2 √(41√2) √(41√2) / π²,
S = 2 * 41√2 / π²,
S = 82√2 / π².

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна 82√2 / π².