Для начала заметим, что т.к. AM и BK - высоты, то они перпендикулярны сторонам ВС и АС соответственно. Это означает, что четырёхугольник ABMK - вписанный, так как углы при вершинах M и K - прямые.

Теперь обратим внимание на треугольники ABC и AMK. Т.к. углы M и K прямые, то угол AMK равен AMB, а угол AKM - углу ABC, так как они дополняют до 180 градусов углы AMB и ABC. Следовательно, углы AMB и AKM равны, значит, точки B и M лежат на одной окружности с диаметром AK, а значит, точки A, B, M и K лежат на одной окружности.