Начнем сбалансировавать уравнение, начиная с самых сложных или наиболее изменчивых групп атомов. Например, мы видим, что кислород в данной реакции содержится в множестве соединений, за исключением воды $H2O$, которая уже сбалансирована.

KBr + KMnO4 + H2SO4 --> MnSO4 + K2SO4 + Br2 + H2O

Начнем сбалансировать Mn и Br. Марганец $Mn$ встречается только в первом и последнем слагаемом на левой стороне уравнения. Поставим 1 коэффициент перед MnSO4 и 2 перед KMnO4.

KBr + 2KMnO4 + H2SO4 --> MnSO4 + K2SO4 + Br2 + H2O

Теперь займемся бромом $Br$. Br встречается только в первом и последнем слагаемом слева, так что установим 2 перед KBr.

2KBr + 2KMnO4 + H2SO4 --> MnSO4 + K2SO4 + Br2 + H2O

Затем сосредоточимся на сере $S$. Сера встречается в H2SO4, MnSO4 и K2SO4. Установим 2 перед H2SO4.

2KBr + 2KMnO4 + 2H2SO4 --> MnSO4 + K2SO4 + Br2 + H2O

Осталось только калий $K$ и кислород $O$, которое можно автоматически сбалансировать просто подобрав коэффициент перед K2SO4.

2KBr + 2KMnO4 + 2H2SO4 --> MnSO4 + 2K2SO4 + Br2 + 2H2O

Теперь уравнение сбалансировано правильно.