Разбиваем уравнение реакции на полуреакции.

Mn$II$ + Br$V$ -> Mn$VII$ // окислитель MnCl2 в K2MnO4
Br$V$ -> Br$-I$ // восстановитель KBrO
NaOH -> Na$+$ + OH$-$ // NaOH

Балансируем полуреакции.

Mn$II$ + 5Br$V$ -> Mn$VII$ + 5Br$-I$ // уравнение окисления
5Br$V$ -> 5Br$-I$ // уравнение восстановления

Приводим к общему множителю электронов, чтобы сложить полуреакции.

5(Mn(II) + 5Br(V) -> Mn(VII) + 5Br(-I))
-5(5Br(V) -> 5Br(-I))

Получаем:

5Mn$II$ + 25Br$V$ -> Mn$VII$ + 30Br$-I$

Теперь можем записать полное уравнение реакции:

5MnCl2 + 25KBrO + 12NaOH = 5KBr + 5K2MnO4 + 10KCl + 6H2O