Пусть масса пирита, массовая доля примесей в котором составляет 15%, равна Х г. Тогда масса чистого железного пирита, содержащегося в нем, равна 0.85Х г.
Массовая доля серы в железном пирите составляет 56%. Тогда масса серы в железном пирите равна 0.56 0.85Х = 0.476X г.
Molar mass$S8$ = 8 32 g/mol = 256 g/mol

Тогда моль серы в железном пирите: n = 0.476X / 256 = 0.001859375X

Molar mass$SO3$ = 32 + 316 = 80 g/mol
Масса серы в триоксиде: 80/256 0.001859375X = 0.00058125X

Таким образом, требуемая масса пирита для получения триоксида серы равна 0.00058125X / 0.476 = 0.001220703125X

Пусть масса диоксида серы, содержащаяся в растворе, равна Y г. Тогда масса серной кислоты в растворе равна 200 - Y г.
Массовая доля кислоты в растворе составляет 95%. Тогда масса кислоты в растворе равна 0.95$200-Y$ г.
Molar mass$H2SO4$ = 21 + 32 + 416 = 98 g/mol
Тогда моль кислоты в растворе: n = 0.95$200-Y$ / 98

Масса олеума равна 200 г, массовая доля кислоты в котором составляет 75%. Тогда масса кислоты в олеуме равна 0.75 * 200 г.
Моль кислоты в олеуме: n = 150 / 98

Таким образом, можно составить уравнение:
0.95$200-Y$ / 98 + Y / 80 = 150 / 98
0.95$200-Y$ + 1.225Y = 150
190 - 0.95Y + 1.225Y = 150
0.275Y = 40
Y = 145.45 г

Следовательно, масса диоксида серы, необходимая для получения олеума, равна 145.45 г.

Пусть масса диоксида марганца, содержащаяся в ферросплаве, равна Z г. Тогда масса чистого марганца в ферромарганце равна 0.70Z г.
Molar mass$MnO2$ = 55 + 2*16 = 87 g/mol

Тогда моль марганца в диоксиде марганца: n = 0.70Z / 87

Таким образом, для получения ферромарганца массой 5 тонн необходимо:
0.70Z / 87 * 5,000,000 = 57,471.26Z г

Так как технический диоксид марганца содержит примеси в массовой доле 30%, то масса чистого диоксида марганца равна 0.7Z г.
Следовательно, масса диоксида марганца, необходимая для получения ферромарганца массой 5 тонн, равна 57,471.26Z / 0.7 = 82,101.80Z г.