Для решения задачи нужно выполнить несколько шагов:

Определить, сколько гидроксида индия $In(OH{)}_3$ и гидроксида натрия $NaOH$ находится в растворе.

Гидроксид индия:

Масса: 45 г.Молярная масса $In=114.82г/моль,O=16г/моль,H=1г/моль$:
$$\text{Молярная масса In(OH)₃}=114.82+3\times 16+3\times 1=114.82+48+3=165.82\text{г/моль}$$Количество молей:
$$n_{\text{In(OH)₃}}=\frac{45\text{г}}{165.82\text{г/моль}}\approx 0.271\text{моль}$$

Гидроксид натрия:

Концентрация: 8% $0.08$.Масса: 530 г.Масса NaOH в растворе:
$$m_{\text{NaOH}}=0.08\times 530\text{г}=42.4\text{г}$$Молярная масса NaOH:
$$\text{Молярная масса NaOH}=23\text{(Na)}+16\text{(O)}+1\text{(H)}=40\text{г/моль}$$Количество молей:
$$n_{\text{NaOH}}=\frac{42.4\text{г}}{40\text{г/моль}}\approx 1.06\text{моль}$$

Пропускание CO₂ через раствор.

Углекислый газ реагирует как с NaOH, так и с In$OH$₃. Для упрощения предположим, что весь CO₂ будет реагировать с NaOH. Уравнение реакции:
$${\text{CO}}_2+\text{2 NaOH}\to {\text{Na}}_2{\text{CO}}_3+{\text{H}}_2\text{O}$$

Для полной реакции CO₂ требуется 2 моли NaOH. Объем CO₂:
$$V_{\text{CO}<em>2}=15.2\text{л}=15.2\times 10^{-3}{\text{м}}^3$$ Используя закон идеальных газов, при нормальных условиях 1 моль газа занимает приблизительно 22.4 л:
$$n</em>\text{CO}<em>2=\frac{15.2\text{л}}{22.4\text{л/моль}}\approx 0.678\text{моль}$$ Для реакции с NaOH нужно:
$$2n</em>\text{CO}<em>2\text{NaOH}⟹n</em>\text{NaOH, необходимый}=2\times n_{{\text{CO}}_2}\approx 2\times 0.678\approx 1.356\text{моль}$$ Но имеем 1.06 моль NaOH, значит NaOH будет лимитирующим реагентом, и весь NaOH будет расходован.

Определение образующегося осадка ионов индия.

После реакции образуется In$OH$₃ с образованием Na₂CO₃:
$$\text{In(OH)₃}+{\text{CO}}_2\to \text{In(OH)₃}$$ Этот осадок остался нерастворимым.

Количество образовавшегося индия из 45 г hydroxyde индия:
$$n<em>\text{In}=n</em>\text{In(OH)₃}=0.271\text{моль}$$

Нейтрализация остаточных ионов.

Нейтрализация осадка фосфорной кислотой:
$$\text{In(OH)₃}+{\text{H}}_3\text{PO}<em>4\to \text{InPO}</em>4+3{\text{H}}_2\text{O}$$

Масса 5% раствора фосфорной кислоты:
$$m_{{\text{H}}_3{\text{PO}}_4}=0.05\times 713\text{г}=35.65\text{г}$$ Молярная масса $H_{3}P{O}_4$:
$${\text{Молярная масса H}}_3\text{PO}<em>4=3+31+(4\times 16)=98\text{г/моль}$$ Количество:
$$n</em>{\text{H}}_3{\text{PO}}_4=\frac{35.65}{98}\approx 0.364\text{моль}$$

Итоговая концентрация ионов индия.

Теперь определим массовую долю ионов индия в итоговом растворе. После нейтрализации останется 0.271 моль индия в форме ионов.

Итоговый раствор:

Начальная масса раствор:
$$45+530=575\text{г}$$Объем жидкости $C{O}_2$:
$$V=15.2\text{л}\text{(приблизительно)}⟹15.2\times 1000=15200\text{г (если считать как вода)}$$Учитывая CO₂, масса конечного раствора:
$$575+15200+713=16609\text{г}$$

Рассчитаем массовую долю индия:
$$\text{Масса индия}=n<em>\text{In}\times \text{Молярная масса In}=0.271\times 114.82\approx 31.086\text{г}$$ Тогда:
$$x</em>{\text{In}}^{3+}=\frac{31.086}{16609}\approx 0.00187=0.187\%$$

Таким образом, массовая доля ионов индия в итоговом растворе составляет приблизительно 0.187%.