Ключевые уравнения и физические предпосылки:

Первый закон термодинамики $дляединицымакроскопическойсистемы$: ΔU = Q − W, где Q — тепло, подведённое к газу $положительное,есливсистему$, W — работа, совершённая газом $положительнаяприрасширении$.Для идеального однофазного газа внутренная энергия U зависит только от температуры: U = nCvT $n—количествомолей,Cv—молярнаятеплоёмкостьприпостоянномобъёме$. Следовательно ΔU = nCv ΔT.

Адиабатическое расширение $Q=0$

Из первого закона: при Q = 0 имеем ΔU = −W.При расширении газ совершает работу W > 0, значит ΔU < 0, то есть температура уменьшается (ΔT < 0), поскольку ΔU = nCv ΔT.Для обратимого $квазистатического$ адиабатического процесса можно получить явную связь между T и V. Запишем дифференциально:
dU + PdV = 0 ⇒ nCv dT + P dV = 0.
Подставляя P = nRT/V, получаем Cv dT + $RT/V$ dV = 0.
Разделим на T: Cv d$lnT$ + R d$lnV$ = 0.
Так как R/Cv = γ − 1 $\gamma =Cp/Cv$, имеем d$lnT$ + $\gamma -1$ d$lnV$ = 0 ⇒ d ln$T{V}^{\gamma -1}$ = 0.
Отсюда для обратимого адиабатического процесса T V^{γ−1} = const $илиэквивалентноP{V}^{\gamma }=const$.
Следствие: при увеличении объёма V температура T изменяется по закону T2/T1 = $V1/V2$^{γ−1}. Так как γ > 1, при V2 > V1 получаем T2 < T1.

Изотермический процесс $T=const$

Для идеального газа U = nCv T, и при T = const имеем ΔU = nCv ΔT = 0.По первому закону: ΔU = Q − W ⇒ 0 = Q − W ⇒ Q = W. То есть всё подведённое тепло идёт на совершение работы газом, а внутренняя энергия не меняется.Для обратимого изотермического процесса работа равна W = ∫ P dV = nRT ln$V2/V1$, где T — постоянная.

Итог: при адиабатическом расширении отсутствие притока тепла заставляет газ тратить свою внутреннюю энергию на совершение работы, что понижает температуру. При изотермическом процессе температура фиксирована, а для идеального газа внутренняя энергия зависит только от T, поэтому ΔU = 0 $иподведённоетеплополностьюпереходитвработу$.