Общее уравнение реакции:
NaNO2 + KMnO4 + KOH -> NaNO3 + K2MnO4 + H2O

Давайте составим уравнение с учетом баланса электронов:

1) NaNO2 -> NaNO3
NaNO2 -> NaNO3
Na^+ + NO2^- -> Na^+ + NO3^-
NO2^- -> NO3^- + 1e^-

2) 2KMnO4 -> K2MnO4
2KMnO4 -> K2MnO4
2K^+ + 2MnO4^2- -> 2K^+ + MnO4^2-
MnO4^2- -> MnO4^3- + 1e^-

3) 14KOH -> 7H2O
14KOH -> 7H2O
14K^+ + 14OH^- -> 7H2O + 14K^+

С учетом этих реакций, коэффициенты для сбалансированной реакции будут следующими:
NaNO2 + 2KMnO4 + 14KOH -> 2NaNO3 + K2MnO4 + 7H2O