Для начала найдем молекулярные массы нитрата никеля (II) и нитрата золота (III):

Ni(NO3)2: Ni - 58,7 г/моль, (NO3)2 - 2(14 + 316) = 62 г/моль
Au(NO3)3: Au - 196,97 г/моль, (NO3)3 - 3(14 + 316) = 226 г/моль

Запишем уравнение реакции термического разложения:

2Ni(NO3)2 = 2NiO + 4NO2 + O2
Au(NO3)3 = Au2O3 + 3NO2 + O2

Так как в результате выделилось 224 литра диоксида азота (NO2), это соответствует 0,8 моль NO2, так как при 1 атм и 0°С 1 моль газа = 22,4 л.

Посчитаем количество золота в реакции:
M(Ni(NO3)2) = 2(58,7 + 62) = 240,7 г/моль
M(Au(NO3)3) = 196,97 + 3226 = 873,97 г/моль

Количество молей Ni(NO3)2:
n(Ni(NO3)2) = 1000 / 240,7 = 4,15 моль
Количество молей Au(NO3)3:
n(Au(NO3)3) = 0,8 / (226/2) = 0,0071 моль
Следовательно массовая доля нитрата золота в изначальной смеси составляет:
m(Au(NO3)3) / (m(Au(NO3)3) + m(Ni(NO3)2)) = (n(Au(NO3)3) 873,97) / ((n(Au(NO3)3) 873,97) + (n(Ni(NO3)2) * 240,7)) = 0,3%

Ответ: массовая доля нитрата золота в изначальной смеси составляет 0,3%.