Для того чтобы упростить выражение ( \sqrt{4\sqrt{5} + 9 - \sqrt{5}} ), начнем с упрощения его аргумента:

Объединим слагаемые под корнем:
[
4\sqrt{5} - \sqrt{5} = (4 - 1)\sqrt{5} = 3\sqrt{5}
]

Теперь подставим это значение обратно в аргумент корня:
[
4\sqrt{5} + 9 - \sqrt{5} = 3\sqrt{5} + 9
]

Таким образом, выражение становится:
[
\sqrt{3\sqrt{5} + 9}
]

Мы видим, что в данном виде значение выражения нельзя упростить до более простого вида.

Для окончательного значения можно только вычислить его численно. Однако, обычно такие выражения оставляют в квадратном корне, чтобы не прибегать к округлению. Если требуется, чтобы получить численное значение, можем вычислить:

[
\sqrt{5} \approx 2.236
]
Следовательно:
[
3\sqrt{5} \approx 3 \times 2.236 \approx 6.708
]

И теперь подставим в корень:
[
3\sqrt{5} + 9 \approx 6.708 + 9 = 15.708
]
Таким образом,
[
\sqrt{15.708} \approx 3.96
]

Результат вычисления:
[
\sqrt{4\sqrt{5} + 9 - \sqrt{5}} \approx 3.96
]

Поэтому окончательный ответ хранится в корне:
[
\sqrt{3\sqrt{5} + 9}
] (что является точным значением), или приближенно ( \approx 3.96 ).