Касательная окружности — это прямая, которая касается окружности в точно одной точке. Чтобы лучше понять свойства касательной окружности, рассмотрим следующие ключевые свойства и их доказательства.
Свойство 1: Перпендикулярность радиуса и касательной
Утверждение: Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной к окружности.
Доказательство:
Пусть ( O ) — центр окружности и ( A ) — точка касания. Обозначим касательную к окружности в точке ( A ) как прямую ( l ).
Допустим, что ( r ) — радиус, проведённый из центра ( O ) к точке ( A ).Если мы проведем радиус ( OA ) и касательную ( l ), то точка ( A ) будет единственной точкой их пересечения.Если бы угол между радиусом ( OA ) и касательной ( l ) не был прямым (то есть угол не равен ( 90^\circ )), то это означало бы, что можно продолжить радиус ( OA ) в сторону, и он пересечет окружность в другой точке, что противоречит определению касательной.
Таким образом, угол между радиусом и касательной равен ( 90^\circ ), что и доказывает утверждение.
Свойство 2: Касательные из одной точки
Утверждение: Из одной и той же точки вне окружности можно провести две касательные к окружности, и они будут равны по длине.
Доказательство:
Пусть ( O ) — центр окружности, ( A ) — точка вне окружности. Проведем две касательные ( AB ) и ( AC ) к окружности, касающиеся её в точках ( B ) и ( C ).
Сначала проведем радиус ( OB ) и ( OC ) (от центра до точек касания).По свойству 1, радиусы ( OB ) и ( OC ) перпендикулярны к касательным, т.е. ( OA \perp AB ) и ( OA \perp AC ).Таким образом, треугольники ( OAB ) и ( OAC ) являются прямоугольными треугольниками.Поскольку ( OA ) общая сторона, и радиусы ( OB ) и ( OC ) равны (они равны радиусу окружности), по теореме о равенстве прямоугольных треугольников ( \triangle OAB \cong \triangle OAC ) следует, что ( AB = AC ).
Таким образом, длины двух касательных, проведённых из точки ( A ) к окружности, равны, что и доказывает утверждение.
Свойство 3: Касательные и секущие
Утверждение: Квадрат длины касательной, проведённой из точки вне окружности, равен произведению отрезков секущей, проведённой из этой же точки.
Доказательство:
Пусть ( A ) — точка вне окружности, ( B ) и ( C ) — точки пересечения секущей с окружностью, и ( P ) — точка касания касательной, проведённой из ( A ) к окружности. Обозначим длину касательной ( AP ) как ( t ), длину отрезка ( AB ) как ( d_1 ), а длину отрезка ( AC ) как ( d_2 ).
Следовательно, мы имеем: [ AP^2 = AB \cdot AC, ] или [ t^2 = d_1 \cdot d_2. ] Это свойство также можно доказать с помощью анализа прямоугольных треугольников и отношения между саидами и углами, однако сама схема визуального представления будет полезна для понимания.
Заключение
Таким образом, касательные окружности обладают важными свойствами, такими как перпендикулярность радиусов и касательной, равенство длины касательных, проведённых из одной точки, и связь между касательными и секущими. Эти свойства играют важную роль в геометрии и находят применение в различных задачах.
Касательная окружности — это прямая, которая касается окружности в точно одной точке. Чтобы лучше понять свойства касательной окружности, рассмотрим следующие ключевые свойства и их доказательства.
Свойство 1: Перпендикулярность радиуса и касательнойУтверждение: Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной к окружности.
Доказательство: Пусть ( O ) — центр окружности и ( A ) — точка касания. Обозначим касательную к окружности в точке ( A ) как прямую ( l ).
Допустим, что ( r ) — радиус, проведённый из центра ( O ) к точке ( A ).Если мы проведем радиус ( OA ) и касательную ( l ), то точка ( A ) будет единственной точкой их пересечения.Если бы угол между радиусом ( OA ) и касательной ( l ) не был прямым (то есть угол не равен ( 90^\circ )), то это означало бы, что можно продолжить радиус ( OA ) в сторону, и он пересечет окружность в другой точке, что противоречит определению касательной.Таким образом, угол между радиусом и касательной равен ( 90^\circ ), что и доказывает утверждение.
Свойство 2: Касательные из одной точкиУтверждение: Из одной и той же точки вне окружности можно провести две касательные к окружности, и они будут равны по длине.
Доказательство: Пусть ( O ) — центр окружности, ( A ) — точка вне окружности. Проведем две касательные ( AB ) и ( AC ) к окружности, касающиеся её в точках ( B ) и ( C ).
Сначала проведем радиус ( OB ) и ( OC ) (от центра до точек касания).По свойству 1, радиусы ( OB ) и ( OC ) перпендикулярны к касательным, т.е. ( OA \perp AB ) и ( OA \perp AC ).Таким образом, треугольники ( OAB ) и ( OAC ) являются прямоугольными треугольниками.Поскольку ( OA ) общая сторона, и радиусы ( OB ) и ( OC ) равны (они равны радиусу окружности), по теореме о равенстве прямоугольных треугольников ( \triangle OAB \cong \triangle OAC ) следует, что ( AB = AC ).Таким образом, длины двух касательных, проведённых из точки ( A ) к окружности, равны, что и доказывает утверждение.
Свойство 3: Касательные и секущиеУтверждение: Квадрат длины касательной, проведённой из точки вне окружности, равен произведению отрезков секущей, проведённой из этой же точки.
Доказательство: Пусть ( A ) — точка вне окружности, ( B ) и ( C ) — точки пересечения секущей с окружностью, и ( P ) — точка касания касательной, проведённой из ( A ) к окружности. Обозначим длину касательной ( AP ) как ( t ), длину отрезка ( AB ) как ( d_1 ), а длину отрезка ( AC ) как ( d_2 ).
Следовательно, мы имеем:
Заключение[
AP^2 = AB \cdot AC,
]
или
[
t^2 = d_1 \cdot d_2.
]
Это свойство также можно доказать с помощью анализа прямоугольных треугольников и отношения между саидами и углами, однако сама схема визуального представления будет полезна для понимания.
Таким образом, касательные окружности обладают важными свойствами, такими как перпендикулярность радиусов и касательной, равенство длины касательных, проведённых из одной точки, и связь между касательными и секущими. Эти свойства играют важную роль в геометрии и находят применение в различных задачах.