Для решения задачи начнем с определения размеров прямоугольного параллелепипеда.

Пусть стороны основания ( AB = a ) и ( AD = b ). Тогда диагональ ( AC ) выражается через ( a ) и ( b ) следующим образом:
[
AC = \sqrt{a^2 + b^2}
]
Учитывая, что ( AC = 10 ) см, мы можем записать:
[
\sqrt{6^2 + b^2} = 10
]
Решим уравнение:
[
\sqrt{36 + b^2} = 10
]
Возведем обе части в квадрат:
[
36 + b^2 = 100 \
b^2 = 64 \
b = 8 \text{ см.}
]
Таким образом, размеры основания: ( AB = 6 ) см и ( AD = 8 ) см.

Теперь у нас есть полные размеры параллелепипеда:

Сначала найдем координаты точек:

Сечение ( A B_1 C ) можно разбить на два треугольника: ( A B_1 C ).

Для нахождения площади треугольника ( A B_1 C ) используем формулу:
[
S = \frac{1}{2} \cdot | \vec{AB_1} \times \vec{AC} |
]

Векторы:

Находим векторное произведение:
[
\vec{AB_1} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
6 & 0 & 6 \
6 & 8 & 0
\end{vmatrix} = \hat{i}(0 \cdot 0 - 6 \cdot 8) - \hat{j}(6 \cdot 0 - 6 \cdot 6) + \hat{k}(6 \cdot 8 - 0 \cdot 6) = -48 \hat{i} + 36 \hat{j} + 48 \hat{k}
]

Модуль этого векторного произведения:
[
|\vec{AB_1} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-48)^2 + 36^2 + 48^2} = \sqrt{2304 + 1296 + 2304} = \sqrt{5904} = 76.8
]
Теперь находим площадь:
[
S = \frac{1}{2} \times 76.8 = 38.4 \text{ см}^2
]

Подставим значения:
[
S_p = 2(6 \cdot 8 + 6 \cdot 6 + 8 \cdot 6) = 2(48 + 36 + 48) = 2(132) = 264 \text{ см}^2
]

Ответы:

Для решения задачи начнем с определения размеров прямоугольного параллелепипеда.

Определение размеров параллелепипеда:

Ребро основания ( AB = 6 ) см.Диагональ основания (прямоугольника ABCD) равна ( 10 ) см.

Пусть стороны основания ( AB = a ) и ( AD = b ). Тогда диагональ ( AC ) выражается через ( a ) и ( b ) следующим образом:

[

AC = \sqrt{a^2 + b^2}

]

Учитывая, что ( AC = 10 ) см, мы можем записать:

[

\sqrt{6^2 + b^2} = 10

]

Решим уравнение:

[

\sqrt{36 + b^2} = 10

]

Возведем обе части в квадрат:

[

36 + b^2 = 100 \

b^2 = 64 \

b = 8 \text{ см.}

]

Таким образом, размеры основания: ( AB = 6 ) см и ( AD = 8 ) см.

Находим высоту ( h ):

Диагональ боковой грани ( B_1 A ) равна:

[

B_1 A = \sqrt{AB^2 + h^2}

]

Учитывая, что угол наклона этой диагонали к плоскости основания равен ( 45^\circ ), можно записать, что:

[

\tan(45^\circ) = 1 = \frac{h}{AB} = \frac{h}{6}

]

Следовательно, ( h = 6 ) см.

Теперь у нас есть полные размеры параллелепипеда:

( AB = 6 ) см,( AD = 8 ) см,( h = 6 ) см.Площадь сечения:

Сечение проходит через точки ( A, B_1, C ). Для нахождения площади данного сечения, заметим, что оно является треугольником ( ABC ) и ( A B_1 ).

Сначала найдем координаты точек:

( A(0, 0, 0) )( B(6, 0, 0) )( C(6, 8, 0) )( B_1(6, 0, 6) )

Сечение ( A B_1 C ) можно разбить на два треугольника: ( A B_1 C ).

Для нахождения площади треугольника ( A B_1 C ) используем формулу:

[

S = \frac{1}{2} \cdot | \vec{AB_1} \times \vec{AC} |

]

Векторы:

( \vec{AB_1} = B_1 - A = (6, 0, 6) - (0, 0, 0) = (6, 0, 6) )( \vec{AC} = C - A = (6, 8, 0) - (0, 0, 0) = (6, 8, 0) )

Находим векторное произведение:

[

\vec{AB_1} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix}

\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \

6 & 0 & 6 \

6 & 8 & 0

\end{vmatrix} = \hat{i}(0 \cdot 0 - 6 \cdot 8) - \hat{j}(6 \cdot 0 - 6 \cdot 6) + \hat{k}(6 \cdot 8 - 0 \cdot 6) = -48 \hat{i} + 36 \hat{j} + 48 \hat{k}

]

Модуль этого векторного произведения:

[

|\vec{AB_1} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-48)^2 + 36^2 + 48^2} = \sqrt{2304 + 1296 + 2304} = \sqrt{5904} = 76.8

]

Теперь находим площадь:

[

S = \frac{1}{2} \times 76.8 = 38.4 \text{ см}^2

]

Площадь полной поверхности:

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

[

S_p = 2(ab + ac + bc),

]

где:

( a = 6 ) см,( b = 8 ) см,( c = 6 ) см.

Подставим значения:

[

S_p = 2(6 \cdot 8 + 6 \cdot 6 + 8 \cdot 6) = 2(48 + 36 + 48) = 2(132) = 264 \text{ см}^2

]

Ответы:

Площадь сечения ( A B_1 C = 38.4 ) см².Площадь полной поверхности параллелепипеда ( S_p = 264 ) см².