Короткий ответ: нет — утверждение в общем виде неверно. Дальше — подходы для доказательства/опровержения и ожидаемые трудности.
Примеры-контрпримеры
- Семейство циклов $C_n$ (рост $n$, средняя степень $2$) не содержит индуцированный подграф, изоморфный любому дереву $T$ с максимальной степенью $\Delta (T)\ge 3$ (в индуцированном подграфе вершина такой степени обязана существовать). Значит для таких $T$ общее утверждение ложное.
- Более общие конструкции: объединения больших компонент, каждая из которых по структуре лишена требуемого индуцированного дерева — дают произвольно большие графы с малой средней степенью, избегающие $T$.
Теоретические подходы
1. Экстремальная теория графов (неиндуцированные встраивания)
- Теорема/гипотеза Эрдёша–Соша (для неиндуцированных встраиваний): если $e(G)>\frac{k-2}{2}n$ (ср. степень $>k-2$), то $G$ содержит любое дерево на $k$ вершинах как подграф (не индуцированный). Для индуцированного случая прямая аналогия не работает, но эта граница полезна для сравнения.
2. Вероятностные методы
- Для модели $G(n,p)$ с $p=c/n$ ожидаемое число индуцированных вхождений фиксированного дерева $T$ на $k$ вершинах равно
$$\mathbb{E}[X]=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\frac{k!}{\mathrm{aut}(T)}{p}^{k-1}(1-p{)}^{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2}\right)-(k-1)}.$$ При $p=c/n$ это примерно
$$\mathbb{E}[X]\sim \frac{c^{k-1}}{\mathrm{aut}(T)}n,$$ так что в случайной разреженной модели индуцированные копии обычно есть (при фиксированном $k$). Для строгого вывода нужны вторые моменты/локальные методы.
3. Структурная теория классов графов
- Параметры: вырождаемость (degeneracy), максимальная средняя степень (mad), treewidth, диаметр, хроматическое число, кластеризация. Например, для классов с ограниченной вырождаемостью $d$ можно получить ограничения на возможные индуцированные деревья (в частности на $\Delta (T)$).
- Классы, закрытые относительно индуцированных подграфов (hereditary classes): изучают по теории запрещённых индуцированных подграфов — можно классифицировать, какие деревья обязаны присутствовать.
4. Рэмси-подходы и универсальные графы
- Индуцированные версии теорем Рэмси и понятие универсального графа для всех деревьев порядка $k$ дают критерии существования, но такие результаты часто дают экспоненциальные оценки и не применимы к «малой средней степени» напрямую.
5. Алгоритмика и верификация
- Поиск индуцированного дерева фиксированного размера можно анализировать алгоритмически: при фиксированном $k$ перебор возможных $k$-множеств даёт время $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$, для случайных/структурно ограниченных графов применимы комбинированные/рандомизированные методы (color-coding и т.п.). Однако в общем случае индуцированная подграфная изоморфия — вычислительно трудная задача.
Ожидаемые трудности
- Индуцированное vs. обычное встраивание: индуцированное требование значительно сильнее и делает большинство «глобальных» экстремальных оценок неприменимыми.
- Адверсариальные конструкции: легко сконструировать большие разреженные графы, избегающие конкретного $T$ (циклы, кластеры, специфические регулярные графы).
- Неоднородность реальных сетей: динамические социальные сети имеют тяжелые хвосты распределения степеней, локальные кластеры и корелляции, что усложняет применение моделей типа $G(n,p)$.
- Комбинаторная сложность: строгие достаточные и необходимые условия для появления индуцированного $T$ зависят от множества параметров (максимальная степень $T$, число вершин $k$, локальная плотность и т.д.), и часто приводят к трудным техничным доказательствам.
- Алгоритмическая трудность при больших $n$ и множестве динамических обновлений (нужны потоковые/FPT-алгоритмы).
Рекомендованный план исследования (практически)
1. Классификация целевых деревьев $T$ по $\Delta (T)$ и $k$.
2. Определить модель/ограничения семейства графов (только средняя степень ограничена или ещё и вырождаемость/mad/girth и т.д.).
3. Если модель случайная (например $G(n,c/n)$) — вычислить $\mathbb{E}[X]$ и провести концентрацию; ожидать наличия индуцированных копий для фиксированного $k$.
4. Для общих (враждебных) семейств — искать явные контрпримеры (циклы, регулярные графы, сплайсинги).
5. Изучить пороговые/экстремальные утверждения: какие дополнительные предпосылки на класс графов (напр., наличие линейного числа вершин с большой локальной экспансией или нижняя граница на число вершин с $\mathrm{deg}\ge \Delta (T)$) гарантируют индуцированное встраивание.
Вывод: нельзя утверждать «всегда» без дополнительных ограничений на структуру семейства. Для доказательства положительного утверждения нужны существенные структурные условия (не только малая средняя степень).