Кратко и по делу.
1) Класс языка
Грамматика $S\to aSb\mid SS\mid \epsilon$ описывает язык правильно сбалансированных «скобок» одной пары (Dyck‑язык одного типа). Формально
$$L(G)=\{w\in \{a,b{\}}^{\ast }\mid {\#}_a(w)={\#}_b(w)\text{и для всякого префикса}u:{\#}_a(u)\ge {\#}_b(u)\}.$$ Это контекстно‑свободный (CFL), не регулярный, но детерминируемо контекстно‑свободный (DCFL) язык.
2) Детерминируемый магазинный автомат (DPDA) — распознавание
Простая детерминированная стратегия: при чтении $a$ — положить маркер, при $b$ — снять; в конце — стек пуст. Формально (один состояние $q$, стековые символы $\{A,Z_0\}$):
$$\begin{array}{rl}& \delta (q,a,Z_0)=(q,A{Z}_0),\delta (q,a,A)=(q,AA),\\ & \delta (q,b,A)=(q,\epsilon ),\delta (q,\epsilon ,Z_0)=(q,\epsilon )(\text{принятие по пустому стеку}).\end{array}$$ Это детерминированный PDA, принимает ровно $L(G)$. Сложность распознавания — $O(n)$.
3) Проблемы при синтаксическом анализе исходной грамматики
- Грамматика $S\to aSb\mid SS\mid \epsilon$ содержит правило конкатенации $SS$, из‑за чего грамматика неоднозначна (могут быть разные деревья разбивки цепочек из нескольких «пар»).
- Наличие левой рекурсии $SS$ осложняет рекурсивный нисходящий (LL) парсер (ведёт к бесконечной рекурсии).
- При попытке строить LR‑таблицы неоднозначность даёт reduce/reduce‑ или shift/reduce‑конфликты.
4) Рекомендация для компилятора (эффективный метод парсинга)
- Для простого распознавания/синтаксического контроля: использовать детерминированный стековый алгоритм (DPDA) — очень просто реализуется, линейно и без бэктрекинга: push на $a$, pop на $b$, проверка underflow и пустого стека в конце.
- Для построения однозначного синтаксического дерева и семантических действий: переписать грамматику в неамбигуозную/LL(1) форму, например
$$S\to aSbS\mid \epsilon ,$$ которая однозначна и пригодна для рекурсивно‑нисходящего (LL(1)) парсера. (Проверка: $\mathrm{First}(S)=\{a,\epsilon \}$, $\mathrm{Follow}(S)=\{b,\$\}$, пересечения нет.)
- Альтернативно можно оставить исходную грамматику и использовать LR(1) парсер генератор (если нужна поддержка исходной формы), но придётся решать конфликты из‑за неоднозначности или предварительно устранять её.
Вывод: язык — DCFL (Dyck одного типа), распознаётся детерминированным PDA за линейное время; для построения синтаксического дерева в компиляторе лучше использовать неамбигуозную форму $S\to aSbS\mid \epsilon$ и LL(1)/рекурсивно‑нисходящий парсер либо простой стековый алгоритм для проверки баланса.