Кратко и по шагам.
1) Модель и параметры
- SIR в форме ОДУ:
$$\frac{dS}{dt}=-\beta \frac{SI}{N},\frac{dI}{dt}=\beta \frac{SI}{N}-\gamma I,\frac{dR}{dt}=\gamma I.$$ Параметры для идентификации: $\beta$ (темп передачи) и $\gamma$ (темп выздоровления). Базовое число воспроизводимости $R_0=\beta /\gamma$.
2) Постановка задачи идентификации
- Нужно задать модель наблюдения. Обычно регистрируются новые выявленные случаи $C_t$, а не состояния $I(t)$. Простейшая запись (инцидентность за интервал):
$${\text{incidence}}_t={\int }_{t-1}^t\beta \frac{S(u)I(u)}{N}du.$$ - Модель наблюдения (шум/неполнота): например
$$C_t\sim \text{Poisson}(\rho \cdot {\text{incidence}}_t)\text{или}{C}_t\sim \text{NegBin}(\rho \cdot {\text{incidence}}_t,\kappa ),$$ где $\rho \in (0,1]$ — доля зарегистрированных случаев (подсчёт/отрезки), $\kappa$ — параметр сверхдисперсии.
3) Методы оценки параметров
- Нелинейный МНК / минимизация ошибки:
$$\underset{\beta ,\gamma ,\rho }{\min }\sum _t(C_t-{\hat{C}}_t(\beta ,\gamma ,\rho ){)}^2,$$ где ${\hat{C}}_t$ — предсказание из интегрированной модели. Быстро, но чувствителен к шуму и некорректной модели шума.
- MLE: максимизировать лог-правдоподобие
$$\ell (\beta ,\gamma ,\dots )=\sum _t\log P(C_t\mid \beta ,\gamma ,\dots ),$$ с выбранной функцией вероятности (Poisson/NegBin). Учитывает дисперсию данных.
- Байесовский подход: строят апостериор
$$p(\beta ,\gamma ,\dots \mid C)\propto p(C\mid \beta ,\gamma ,\dots )p(\beta )p(\gamma ),$$ оценка через MCMC или вариационные методы — даёт интервалы неопределённости и естественно вводит априорные знания.
- Скрытые марковские/частичные наблюдения: фильтры и методы для POMP:
- Частицы (particle filter) / sequential Monte Carlo для оценивания латентных траекторий и параметров (включая iterated filtering — IF2).
- EKF/UKF для приближённой обработки, если линеризация допустима.
- EM / data augmentation: чередуются восстановление скрытых траекторий и оценка параметров.
- Глобальная оптимизация/мультистарт + градиенты (AD/adjoint) при численном интегрировании — для устойчивости к локальным минимумам.
4) Учет шума и неполноты данных
- Подключить наблюдательскую модель: учесть $\rho$ (доля выявленных), задержки распространения/отчётности, правое усечение (right-censoring), регулярные пропуски.
- Модель избыточной дисперсии: Negative Binomial вместо Poisson, учёт сверхдисперсии.
- Ввести время-зависимые параметры: $\beta (t)$ как piecewise-constant, spline или регрессия по NPI/мобильности.
- Использовать дополнительные данные для снижения неидентифицируемости: госпитализации, смертоность, серопревалентность, тестирование.
- Data augmentation / latent-state inference: оценивать скрытые $S,I,R$ вместе с параметрами (частицы, MCMC).
- Регуляризация/априоры: ограничивают параметры физиологическими границами и уменьшают переобучение.
5) Проверка идентифицируемости
- Структурная идентифицируемость: аналитически/символьными методами проверить, можно ли однозначно восстановить $\beta ,\gamma$ при идеальных данных.
- Практическая идентифицируемость: профильные правдоподобия или маргинальные постериоры; если только отношение $\beta /\gamma$ стабильно, а индивидуальные параметры не — это сигнал проблемы.
- Тест на синтетических данных (симуляция «truth» + оценка) — важный шаг.
6) Валидация модели (рекомендуемые методы)
- Внутренняя проверка:
- Остатки: проверка автокорреляции и распределения остатков.
- Posterior predictive checks: симулируют множество траекторий из постериора и сравнивают со статистиками данных (средние, квантели, пики).
- Coverage: доля наблюдений, попавших в $95\%$ PI.
- Внешняя и прогнозная проверка:
- Out-of-sample прогнозирование: rolling-origin (скользящая валидация) — калибровка на [0,t] и прогноз на [t+1,t+h].
- Метрики: RMSE, MAE, логарифмическое правдоподобие, CRPS, Brier/Log score для вероятностных предсказаний.
- Сравнение моделей:
- AIC/BIC/WAIC/LOO для сравнения структур (SIR vs SEIR vs time-varying beta).
- Проверка устойчивости: sensitivity analysis (изменение начальных условий, приоров).
- Диагностика несоответствия: если модель не описывает ключевые свойства (временные сдвиги, пики), добавить сложность (статическую гетерогенность, временную изменчивость $\beta (t)$, возрастные классы).
7) Практические рекомендации
- Предобработка: скорректировать отчётные и выходные всплески, сгладить выходы или модельно учесть выходные эффекты.
- Фиксировать или информировать начальные условия: $I(0)$, $S(0)$ — влияют на оценку $\beta ,\gamma$. Используйте серо-данные или априоры.
- Начинать с простых подходов (MLE, Poisson/NegBin) для диагностики, затем переходить к байесу/частицам при сложной наблюдательной модели.
- Всегда представлять интервалы неопределённости и проверять идентифицируемость (profile likelihood / posterior marginals).
- Тестировать на синтетических данных для проверки рабочей схемы идентификации.
Краткая формула правдоподобия (пример, NegBin):
$$\ell (\theta )=\sum _t\log \mathrm{Pr}(C_t\mid {\mu }_t(\theta )=\rho \cdot {\text{incidence}}_t(\beta ,\gamma ),\kappa ).$$
Это достаточный набор шагов и методов для практической идентификации $\beta ,\gamma$ с учётом шума и неполных наблюдений и для надёжной валидации модели.