1) Почему арабский язык называли «латынью Востока»

Аналогия с латынью в средневековой Европе: как латынь была универсальным языком науки, права, церкви и обучения в Европе, так классический арабский (и арабский литературный язык) выполнял ту же роль в огромном мусульманском пространстве. Арабский был lingua franca для учёных, юристов, администраторов и купцов от Испании и Магриба до Центральной Азии и Индии. По-арабски велися переводы греческих, персидских, индийских трудов, писались медицинские, философские, астрономические и математические трактаты. Стандартизация языка (вокруг Корана) и развитая письменная традиция сделали арабский удобным средством межнационального общения и передачи знаний — поэтому его и называли «латынью Востока».

2) Какое положение занимали учёные в арабском/мусульманском обществе и как это повлияло на развитие халифата

Кто такие «учёные»: религиозные учителя и богословы (улема), судьи (кадии), медицины, математики, астрономы, переводчики и философы. Статус и функции: многие учёные пользовались высоким авторитетом и государственной поддержкой. Улема отвечали за право (шариат), образование и моральную легитимацию власти; кадии решали споры; придворные учёные служили астрономами, врачами, переводчиками. Механизмы влияния: правители финансировали переводы и исследования (например, Байт аль-Хикма в Багдаде), создавали больницы и обсерватории, а учёные занимали административные и судебные должности. Это способствовало:
консолидации и централизации управления (единое право, образованные чиновники), экономическому развитию (точные расчёты, карты, сельскохозяйственные технологии), культурной и научной инновации (переводы греческой науки, внутренние открытия), распространению знаний по всему халифату и за его пределы (через школы, библиотеки, торговые пути). Конфликты и ограничения: иногда происходили идеологические споры (например, вопрос о рационализме — мутазилиты vs ашариты, «михна» — преследование за убеждения), что временами тормозило философское течение; но в целом вклад учёных был ключевым фактором расцвета «Золотого века» исламской цивилизации.

3) Прославленные учёные и писатели мусульманского мира (коротко, по направлению)

Математика и алгебра:
Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми — «алгоритмы», книга по алгебре (термин «алгебра»), вклад в десятичную позиционную арифметику. Омар Хайям — работа по решениям кубических уравнений, календарная реформа; также поэт. Философы и мыслители:
Аль-Кинди — первый арабский философ, распространение греческой науки. Аль-Фараби — логика и философия. Авиценна (Ибн Сина) — философия, медицина («Канон врачебной науки»). Ибн Рушд (Аверроэс) — комментатор Аристотеля. Аль-Газали — теология, влияние на исламскую мысль. Медицина и фармакология:
Ар-Рази (Аль-Рази, Rhazes) — клиническая медицина, энциклопедии, различие между корью и ветрянкой. Ибн Сина — обширные медицинские труды, учебник на века. Ибн ан-Нафис — описание малого (лёгочного) кровообращения. Оптика и метод исследования:
Ибн аль-Хайсам (Альхазен) — «Книга оптики», метод исследования, теория зрения, эксперименты с камерой-обскурой. Астрономия и география:
Аль-Бируни — география, физика, сравнительные исследования культур. Аль-Идриси — карта и географическая энциклопедия. Аль-Баттани — астрономические таблицы. Химия/алхимия:
Джабир ибн Хайян (Джабир/Geber) — методики дистилляции, лабораторные приёмы, ранняя химия. История, социология, путешествия и литература:
Ибн Халдун — философия истории, «мукудима» (теории общества). Ибн Баттута — путешествия и география. Аль-Мутанабби, Абу-ль-Аля аль-Маарри — поэты; Джабран Халиль Джубран и Нагиб Махфуз — современные писатели (хотя они представляют уже более поздний период и разные языки). Другие значимые имена: Хунейн ибн Исхак (главный переводчик), Насир ад-Дин ат-Туси (математика, астрономия), Аль-Суфи (звёзды), Тарих-аль... и др.

Какие открытия и изобретения арабских/исламских учёных мы используем в повседневной жизни и в учёбе

Арабские (точнее — индуо-арабские) цифры и позиционная десятичная система — основа всей современной арифметики. Алгебра и алгоритмы (ал-Хорезми) — основа современной математики и информатики; понятие «алгоритм» прямо связано. Методы и инструменты лабораторной химии (дистилляция, перегонка) — в химии, фармации и промышленности. Медицинские принципы и клинические наблюдения (Ибн Сина, Ар-Рази) — основу европейской медицины на века; многие терапевтические подходы и классификации были приняты в учебниках. Оптика и принципы зрения (Ибн аль-Хайсам) — фундамент для развития оптики, камер, фотографии, офтальмологии. Астрономические таблицы, инструменты (астролябия) — навигация, астрономия. Тригонометрия и методы вычислений — в математике, инженерии и архитектуре. Письменная и книжная культура: внедрение бумажного производства (через исламский мир) — дешёвые книги, образование. Университетские/медресеобразные структуры и система преподавания — ранние формы систематического обучения. Косвенно: кофе (йеменское распространение и кофейни), картография и географические сведения, которые легли в основу современных карт.

Если хотите, могу:

подготовить краткий реферат по одному из учёных (например, Аль-Хорезми или Ибн аль-Хайсам), привести примеры конкретных изобретений и их пути в современную науку, или сделать краткую хронологию «Золотого века» исламской науки.