1) Длина бокового ребра пирамиды можно найти по теореме Пифагора:
(a = \sqrt{h^2 + (\frac{s}{2})^2} = \sqrt{7^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65} \approx 8.06 \, см).

Апофема пирамиды:
(f = \sqrt{a^2 - (\frac{s}{2})^2} = \sqrt{8.06^2 - 4^2} = \sqrt{65 - 16} = \sqrt{49} = 7 \, см).

2) Высоту пирамиды можно найти используя теорему Пифагора:
(h = \sqrt{13^2 - (\frac{\sqrt{6^2 + 8^2}}{2})^2} = \sqrt{169 - (\frac{10}{2})^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \, см).

Площадь диагонального сечения:
(S = (\frac{8 \cdot 6}{2}) + 4 \cdot 13 = 24 + 52 = 76 \, см^2).

3) Высоту пирамиды можно найти по формуле:
(h = \sqrt{13^2 - (\frac{6}{2})^2} = \sqrt{169 - 9} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \, см).

4)
Высоту пирамиды можно найти используя теорему синусов:
(h = \frac{a}{2 \sin{\alpha}} = \frac{12}{2 \sin{45}} = \frac{12}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = 6\sqrt{2} \, см).

Площадь сечения можно найти как площадь треугольника с основанием с длиной 12 см и высотой, равной 6 см:
(S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36 \, см^2).