Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов.

По теореме косинусов, мы можем найти длину отрезка $CN$ следующим образом:

$$CN^2 = AC^2 + AN^2 - 2 \cdot AC \cdot AN \cdot \cos(C)$$

Так как угол $C$ равен $120^\circ$ (так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$), то $\cos(C) = \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$.

Подставляя известные значения, получаем:

$$CN^2 = 9^2 + AN^2 - 2\cdot 9 \cdot AN \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$$
$$CN^2 = 81 + AN^2 + 9AN$$

Также, зная, что угол $A$ равен $30^\circ$, мы можем найти длину отрезка $AN$ с помощью тригонометрических функций:

$$\sin(30^\circ) = \frac{AN}{AC}$$
$$\frac{1}{2} = \frac{AN}{9}$$
$$AN = \frac{9}{2}$$

Подставляя это значение обратно:

$$CN^2 = 81 + \left(\frac{9}{2}\right)^2 + 9 \cdot \frac{9}{2}$$
$$CN^2 = 81 + \frac{81}{4} + \frac{81}{2}$$
$$CN^2 = 81 + 20.25 + 40.5$$
$$CN^2 = 141.75$$
$$CN \approx \sqrt{141.75} \approx 11.9$$

Итак, длина отрезка $CN \approx 11.9$.