Для доказательства теоремы Пифагора с помощью аксиоматики Александрова, давайте сначала введем необходимые определения и аксиомы:

Определение:

Прямая - это бесконечно протяженное множество точек, которое удовлетворяет аксиоме относительности.Треугольник - это фигура, образованная тремя отрезками, соединяющими три точки, не лежащие на одной прямой.

Аксиомы:

Аксиома инцидентности: Через две различные точки проходит единственная прямая.Аксиома относительности: Если три точки не лежат на одной прямой, то они образуют треугольник, а единственный такой треугольник.Аксиома Паскаля: Через любые пять точек, не лежащих на одной прямой, проходит прямая.

Теперь приступим к доказательству теоремы Пифагора:

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC и катетами AB и BC. Обозначим длины сторон треугольника: AB = a, BC = b, AC = c.

Рассмотрим треугольники ABH и BCH, где H - проекция точки B на прямую AC.

Из аксиомы Паскаля следует, что прямая BH проходит через точку H.

Также из аксиомы Паскаля следует, что прямые AH и CH пересекаются в точке D, где D - перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника С на гипотенузу.

Теперь рассмотрим четырехугольник ABDC.

Из аксиомы Паскаля следует, что прямая BD проходит через точку D.

Так как треугольник ABH прямоугольный, то BD является высотой этого треугольника.

Из подобия треугольников ABH и BCH следует, что AB/BC = BH/CH = a/b.

Из подобия треугольников ABH и ACD следует, что AB/AC = AH/AD = a/c.

Из подобия треугольников BCH и ACD следует, что BC/AC = CH/CD = b/c.

Следовательно, мы получаем равенство a^2 + b^2 = c^2, что и является теоремой Пифагора. Теорема доказана.