Для начала найдем координаты точки B', в которой пересекаются медиана и высота, проведенные из вершины B.

Медиана и высота пересекаются в центре тяжести треугольника.
Координаты центра тяжести G можно найти как среднее арифметическое координат вершин треугольника:

Gx = (Ax + Bx + Cx) / 3 = (3 + 5 + 4) / 3 = 4
Gy = (Ay + By + Cy) / 3 = (4 - 6 + 2) / 3 = 0

Таким образом, координаты точки B' равны (4;0).

Теперь найдем уравнение медианы из вершины B (то есть медианы, проходящей через точки B и B'). Уравнение медианы можно найти, используя координаты B и B':

y = kx + m

k = (yB' - yB) / (xB' - xB) = (0 + 6) / (4 - 5) = -6
m = yB - k xB = -6 5 + 6 = -24

Следовательно, уравнение медианы из вершины B: y = -6x - 24

Теперь найдем уравнение высоты, проведенной из вершины B. Так как высота перпендикулярна стороне треугольника, то уравнение высоты будет иметь вид x = const.

Следовательно, уравнение высоты, проведенной из вершины B: x = 5

Теперь найдем площадь треугольника по формуле Герона:

S = 0.5 * |(x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2))|

S = 0.5 |(3(2 + 6) + 5(4 - 2) + 4(-6 - 4))| = 0.5 15 = 7.5

Ответ: Уравнение медианы из вершины B: y = -6x - 24, уравнение высоты, проведенной из вершины B: x = 5, площадь треугольника: 7.5.