Для того чтобы доказать, что выражение 2004^2 + 2004^2 * 2005^2 + 2005^2 является квадратом натурального числа, нужно представить его в виде квадрата:

2004^2 + 2004^2 * 2005^2 + 2005^2 = (2004^2 + 2005^2)^2.

Далее, можно разложить выражение (2004^2 + 2005^2)^2 с помощью формулы квадрата суммы:

(2004^2 + 2005^2)^2 = (2004^2)^2 + 2 2004^2 2005^2 + (2005^2)^2

Подставляем значения:

= 2004^4 + 2 2004^2 2005^2 + 2005^4
= 2004^2 (2004^2 + 2 2005^2) + 2005^4
= 2004^2 (2004^2 + 2 2004 2005 + 2005^2) + 2005^4
= 2004^2 (2004 + 2005)^2 + 2005^4
= 2004^2 * (4009)^2 + 2005^4

Таким образом, выражение 2004^2 + 2004^2 * 2005^2 + 2005^2 равно квадрату натурального числа (2004^2 + 2005^2)^2.