Для доказательства этого утверждения, рассмотрим произвольный квадрат со стороной длиной "а". Пусть "О" - центр окружности, которую мы хотим вписать в этот квадрат.

Так как диагонали квадрата равны и пересекаются в его центре, то диагональ квадрата делит его на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из таких треугольников. Пусть "В" - середина гипотенузы, а "Р" - точка пересечения гипотенузы с окружностью.

Треугольник ВРО - подобен прямоугольному треугольнику, образованному стороной квадрата и его диагональю (так как у них соответствующие углы равны). Следовательно, отношение сторон треугольника ВРО равно отношению сторон прямоугольного треугольника, т.е.

[\frac{RV}{VO} = \frac{a}{2}]

Так как точка "В" является серединой гипотенузы, то (VB = \frac{a}{2}). Учитывая, что (OR = RV), то окажется, что радиус окружности равен половине стороны квадрата, т.е. окружность можно вписать в любой квадрат.