Для начала найдем критические точки функции x(x-5)(x+2), приравняв её к нулю: x(x-5)(x+2) = 0 Таким образом, критическими точками являются x=0, x=5 и x=-2.
Теперь построим знаки функции на каждом из интервалов, которые образованы критическими точками: 1) (-бесконечность, -2): выберем точку x=-3, тогда подставим её в функцию: (-3)(-3-5)(-3+2) = (-3)(-8)(-1) = 24 Значит, на этом интервале функция положительна.
2) (-2, 0): выберем точку x=-1, тогда подставим её в функцию: (-1)(-1-5)(-1+2) = (-1)(-6)(1) = 6 На этом интервале функция отрицательна.
3) (0, 5): выберем точку x=1, тогда подставим её в функцию: (1)(1-5)(1+2) = (1)(-4)(3) = -12 На этом интервале функция положительна.
4) (5, +бесконечность): выберем точку x=6, тогда подставим её в функцию: (6)(6-5)(6+2) = (6)(1)(8) = 48 На этом интервале функция положительна.
Итак, решение неравенства x(x-5)(x+2)>0: x∈(-2, 0) ∪ (5, +∞).
Для начала найдем критические точки функции x(x-5)(x+2), приравняв её к нулю:
x(x-5)(x+2) = 0
Таким образом, критическими точками являются x=0, x=5 и x=-2.
Теперь построим знаки функции на каждом из интервалов, которые образованы критическими точками:
1) (-бесконечность, -2): выберем точку x=-3, тогда подставим её в функцию:
(-3)(-3-5)(-3+2) = (-3)(-8)(-1) = 24
Значит, на этом интервале функция положительна.
2) (-2, 0): выберем точку x=-1, тогда подставим её в функцию:
(-1)(-1-5)(-1+2) = (-1)(-6)(1) = 6
На этом интервале функция отрицательна.
3) (0, 5): выберем точку x=1, тогда подставим её в функцию:
(1)(1-5)(1+2) = (1)(-4)(3) = -12
На этом интервале функция положительна.
4) (5, +бесконечность): выберем точку x=6, тогда подставим её в функцию:
(6)(6-5)(6+2) = (6)(1)(8) = 48
На этом интервале функция положительна.
Итак, решение неравенства x(x-5)(x+2)>0: x∈(-2, 0) ∪ (5, +∞).