Вероятность того, что купленная обувь окажется качественной: (1 - \frac{30}{160} = 1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16} \approx 0.81).

Пусть Миша тратит (x) рублей в первый день, тогда второй день он потратит (x+100) рублей, третий (x+200) рублей и так далее. Общая сумма расходов Миши:

(5x + 100 + 200 + 300 + 400 = 6900 + 2800)

(5x + 1000 = 9700)

(5x = 8700)

(x = 1740)

Миша тратил 1740 рублей в первый день. Значит, он продолжал путешествие (5 + \frac{2800}{100} = 33) дня.

Площадь трапеции (S = \frac{(a+b)h}{2}), где (a) и (b) - основания трапеции, (h) - высота.

Из условия, (a = b = 15).

Тогда (S = \frac{15+x}{2} \cdot h).

Площадь максимальна, когда (h) максимально. Так как (h) - высота, она должна быть перпендикулярна к основаниям.

Следовательно, при (h = 15) (высота равна стороне трапеции) площадь будет наибольшей.

Средняя скорость движения велосипедиста на всем пути от дома до магазина и обратно:

(\frac{2 \cdot 10 \cdot 15}{10+15} = \frac{300}{25} = 12 \, \text{км/ч}).

Пешеходу выгоднее идти через лес, так как он быстрее движется там. Для оптимального времени он должен пройти часть пути по дороге и часть по лесу.

Пусть он идет (x) км по дороге, тогда (13 - x) км по лесу.

Время, затраченное на дорогу: (\frac{x}{5}) часов

Время, затраченное в лесу: (\frac{13-x}{3}) часов

Общее время:

(\frac{x}{5} + \frac{13-x}{3})

Минимизируем эту функцию:

(\frac{x}{5} + \frac{13-x}{3} = \frac{3x + 5(13-x)}{15})

(\frac{3x + 65 - 5x}{15} = \frac{65 - 2x}{15})

Дифференцируем:

(\frac{d}{dx} \left(\frac{65 - 2x}{15}\right) = \frac{-2}{15})

Находим экстремум:

(\frac{-2}{15} = 0)

(-2 = 0) - невозможно, значит нам нужен минимум. Это значит, что минимум достигается при (x = 0) или (x = 13).

Таким образом, пешеходу потребуется минимальное время, когда он пройдет 13 км по лесу и не будет идти по дороге.