Для начала перепишем уравнение в виде:

Z - √(x^2 + z^2) + tg(y/x) = 0.

Затем продифференцируем уравнение по y:

∂Z/∂y - ∂(√(x^2 + z^2))/∂y + ∂(tg(y/x))/∂y = 0.

Так как мы ищем dz/dy, то нам нужно найти ∂Z/∂y. Рассмотрим первое слагаемое по отдельности.

∂Z/∂y = 0, так как Z не зависит явно от y.

Теперь найдем ∂(√(x^2 + z^2))/∂y:

∂(√(x^2 + z^2))/∂y = (1/2)(x^2 + z^2)^(-1/2)(2z)∂z/∂y = z/(√(x^2 + z^2)) * ∂z/∂y.

И последнее слагаемое:

∂(tg(y/x))/∂y = (1/cos^2(y/x))(1/x) = (1 + tg^2(y/x))(1/x).

Подставляем все выражения в изначальное уравнение и получаем:

z/(√(x^2 + z^2)) ∂z/∂y + (1 + tg^2(y/x))^2(1/x) = 0.

Таким образом, dz/dy = - z((√(x^2 + z^2))/x)(1/((1+tg^2(y/x))^2)).