Крайние точки выпуклых многогранников могут быть характеризованы алгебраически следующим образом:

Пусть $P$ - выпуклый многогранник в $n$-мерном пространстве ${\mathbb{R}}^n$, ограниченный $m$ гиперплоскостями. Точка $x\in P$ называется крайней (или экстремальной) точкой многогранника $P$, если существует такое разбиение множества $1,2,...,m$ на два непересекающихся множества $I$ и $J=1,2,...,m\setminus I$, что
$$x=\sum _{i\in I}{\lambda }_i\text{a}<em>i=\sum </em>j\in J{\mu }_j{\text{a}}_j,$$ где ${\text{a}}_1,{\text{a}}_2,...,{\text{a}}_m$ - вершины многогранника $P$, а ${\lambda }_i,\mu <em>j\ge 0$ и $\sum </em>i\in I\lambda <em>i=\sum </em>j\in J{\mu }_j=1$.

Также крайние точки многогранника $P$ можно характеризовать при помощи алгебраического определения через множество $\mathbb{I}\subset 1,2,...,m$ всех индексов, для которых точка $x$ является вершиной выпуклой комбинации. То есть точка $x$ является крайней точкой многогранника $P$ тогда и только тогда, когда множество $\mathbb{I}$, соответствующее этой точке, минимально (то есть в него нельзя добавить ни один индекс без нарушения условий выпуклости).

Эти алгебраические характеристики позволяют более удобно описывать и исследовать крайние точки выпуклых многогранников.